Lemma (Satz von Rolle): Sei \(f: [a,b]\to \mathbb{R}\) stetig und auf \((a,b)\) differenzierbar. Falls \(f(a)=f(b)\), gibt es eine Stelle \(\xi\in (a,b)\) mit \(f'(\xi)=0\).
Beweis: Ist \(f\) konstant, ist \(f'(x)=0\) für alle \(x\in (a,b)\). Ist \(f\) nicht konstant, nimmt \(f\) auf \(\xi\in (a,b)\) ein Minimum oder Maximum an, da \(f(a)=f(b)\). Sei \(f(\xi)\) o.B.d.A. ein Maximum. Es ist \(\lim_{x\to \xi^{-}}{\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}}\geq 0\) und \(\lim_{x\to \xi^{+}}{\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}} \leq 0\). Es ist also \(f'(\xi)=0\).
Satz (Mittelwertsatz): Sei \(f: [a,b]\to \mathbb{R}\) stetig und auf \((a,b)\) differenzierbar. Dann gibt es ein \(\xi\in (a,b)\) mit \(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Beweis: Ich definiere die Funktion \(g: [a,b]\to \mathbb{R}\), \(x\mapsto f(x)-(x-a) \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Dann ist \(g\) auf \([a,b]\) stetig und differenzierbar auf \((a,b)\) mit \(g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Es gilt \(g(a)=f(a)=g(b)\). Nach dem Satz von Rolle gibt es ein \(\xi\in (a,b)\) mit \(g'(\xi)=0\). Dann ist \(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).