Satz von Heine

Satz (Satz von Heine): Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) eine stetige Funktion. Dann ist \(f\) auf \([a,b]\) gleichmäßig stetig.

Beweis: Nehmen wir an, f wäre nicht gleichmäßig stetig. Dann gibt es ein \(\varepsilon >0\), sowie Folgen \((x_n)\), \(({x_n}') \subseteq [a,b]\), sodass für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt, dass \(|x_n-x_n'|<\frac{1}{n}\) und \(|f(x_n)-f(x_n')|\geq \varepsilon\).

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es konvergente Teilfolgen \((x_{n_k}), ({x_{n_k}}')\). Da für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt, dass \(|x_n-{x_n}'|<\frac{1}{n}\), gilt \(\lim_{n\to \infty}{x_{n_k}} = \lim_{n\to \infty}{{x_{n_k}}'} = x\in [a,b]\).

Aufgrund der Stetigkeit von \(f\) gilt \(\lim_{n\to \infty}{f(x_{n_k})}=\lim_{n\to \infty}{f({x_{n_k}}')}=f(x)\). Daher gibt es ein \(k_0\in \mathbb{R}\), sodass für alle \(k\geq k_0\) gilt, dass \(|f(x_{n_k})-f(x)|< \frac{\varepsilon}{2}\) und \(|f({x_{n_k}}')-f(x)|< \frac{\varepsilon}{2}\). Somit gilt \(|f(x_{n_k})-f({x_{n_k}}')|< \varepsilon\), ein Widerspruch zur Annahme.