Satz (Bolzano-Weierstraß): Sei \((a_n)\) eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann hat \((a_n)\) eine konvergente Teilfolge.
Beweis. Seien \(b_0,c_0\in \mathbb{R}\) eine untere bzw. obere Schranke von \((a_n)\), es liegen also alle Folgenglieder in \([b_0,c_0]\). Wir verwenden ein iteratives Verfahren, sei \(n=0\). Es liegen unendlich viele Folgenglieder zwischen \(b_n\) und \(c_n\) und wir können eines, \(a_{k_n}\) mit \(k_n > k_{n-1}\) für \(n>0\), auswählen, sodass \(b_n\leq a_{k_n} \leq c_n\). Nun teilen wir das Intervall in zwei Hälften: Da unendlich viele Folgenglieder zwischen \(b_n\) und \(c_n\) liegen, liegen auch unendlich viele Folgenglieder in \([b_n, \frac{b_n+c_n}{2}]\) oder in \([\frac{b_n+c_n}{2}, c_n]\). Im ersten Fall wählen wir \(b_{n+1}=b_n\) und \(c_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{2}\), sonst wählen wir \(b_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{2}\) und \(c_{n+1}=c_n\) (es können auch unendlich viele Folgenglieder in beiden Intervallen liegen, dann verwenden wir Fall 1). Dann liegen im Intervall \([b_{n+1}, c_{n+1}]\) erneut unendlich viele Folgenglieder.
So erhalten wir die Folgen \((b_n)\), \((c_n)\) und \((a_{k_n})\).
Die Folge \((b_n)\) ist monoton wachsend und durch \(c_0\) nach oben beschränkt, sodass die Folge konvergiert. Analog konvergiert auch \((c_n)\).
Sei \(n\in \mathbb{N}\). Dann gilt für die Intervallgröße \(c_n-b_n=\frac{c_0-b_0}{2^n}\). Es gilt also \(\lim_{n\to \infty}{c_n-b_n}=0\). Laut den Grenzwertsätzen gilt, da \((b_n)\) und \((c_n)\) konvergieren, dass \(\lim_{n\to \infty}{b_n} = \lim_{n\to \infty}{c_n}\). Da für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt, dass \(b_n\leq a_{k_n}\leq c_n\), gilt laut Sandwichlemma, dass \((a_{k_n})_{n\in \mathbb{N}}\) denselben Grenzwert besitzt. \((a_{k_n})\) ist also eine konvergente Teilfolge von \((a_n)\).